Einen Kabelbaum für dein Moped bekommst du für ca. 70 € im Internet, einfach in die Suchmaschine eingeben. Einen Schaltplan habe ich nicht gefunden, an deiner Stelle würde ich mich dafür direkt an den Hersteller wenden.

Ich würde dir eine MZ SX 125 (Enduro) oder SM 125 (Supermoto) empfehlen. Der in beiden Modellen verbaute Motor gehört mit 15 PS und einem maximalen Drehmoment von 11,7 Nm zu den stärksten im 125er-Segment. Für längere Touren eignen sich beide durch die bequeme Sitzposition auch recht gut. 

Vermutlich ist die Tachowelle locker oder kaputt, vorausgesetzt es handelt sich um einen analogen Tacho.

Mit 33 PS würde mir die Kawasaki Ninja 250R als bezahlbares Beispiel einfallen, die kostet gebraucht so ca. 2500€. Ansonsten sieht es eher schlecht aus zwischen 35 und 48 PS bezüglich bezahlbaren Supersportlern. Wenn du die Maschine drosseln lässt, kannst du dir beispielsweise eins von den folgenden Motorrädern kaufen.

Suzuki GSX-R600

Suzuki GSX-R750

Honda CBR600 RR

Kawaski Ninja ZX-4R

Kawasaki Ninja ZX-6R

Aprilia RSV Mille

Yamaha FZR600

Yamaha YZF600R Thundercat

Eine Supermoto lässt sich durch die aufrechte Sitzposition sicherlich bequemer fahren als ein Sportler. Dadurch kannst du auch ohne auftretende Probleme wie Rückenschmerzen längere Strecken bewältigen. Auf einer eher schlecht ausgebauten Straße (Feldweg) bist du mit einer Supermoto auch besser beraten.  

Unfall-Motorräder lassen sich nur zu geringen Preisen verkaufen. Lass deine Beta zu einem möglichst günstigen Preis reparieren und verkauf sie anschließend. Trotz der anfallenden Reparaturkosten kommst du unterm Strich sicherlich besser davon, vorausgesetzt es sind wirklich nur Plastikteile und Tacho kaputt.

Die üblichen 600er Supersportler haben fast alle 98 PS oder mehr. Ob es eine gute Idee ist, solche Leistungsmotorräder auf eine Maximalleistung von 48 PS zu zwingen, glaub ich eher weniger. Falls du genug Geld zur Verfügung hast, kannst du auch nach den neuen, speziell für A2 geeigneten Supersportlern schauen, beispielsweise:

KTM RC 390

Yamaha YZF-R3

Honda CBR 300

Kawasaki Ninja 250R

Kawasaki Ninja 300R

Der Aufwand, eine Husqvarna TE 125 in eine Maschine mit Straßenzulassung umzubauen, ist meiner Meinung nach ziemlich hoch und lohnt sich wahrscheinlich nicht. Da geht es von den Blinkern über die Spiegeln bis hin zu den neuen Reifen. Wie es mit den Abgas- und Geräuschgrenzwerten bei der beantragten Zulassung aussieht, ist ebenfalls eine Frage. Alternativ gibt es auch standardmäßig Supermotos von Husqvarna.

http://www.husqvarna-motorrad.de/index.php?id=726&no\_cache=1&modelId=79&show=overview

Die Yamaha XT 125 R wird in den meisten Ländern nicht mehr vertrieben, in Großbritannien wurde der Vertrieb beispielsweise 2012 eingestellt. Offiziell ist die Produktion aber noch nicht komplett eingestellt, es kann durchaus sein, dass das Modell beispielsweise in Asien oder dem amerikanischen Kontinent noch offiziell vertrieben wird. In Deutschland wird sie jedenfalls nicht mehr offiziell verkauft.

Bezüglich der Schutzkleidung für die praktische Prüfung heißt es laut ADAC:

"Motorradstiefel mit ausreichendem Knöchelschutz"

Normalerweise müssten die Schuhe passen, die besitzen jedenfalls gepolsterte Knöchelkappen. Frag am besten mal deinen Fahrlehrer, der kann dir bestimmt weiterhelfen. Alternativ könntest du dir auch einfach höhere Stiefel kaufen, bei denen im unten gegebenen Link müsste es bezüglich der Prüfung auf jeden Fall passen.

https://www.louis.de/artikel/probiker-traveller-stiefel/219110?list=146410601

Deine verbaute Auspuffanlage darf trotz E-Nummer im Stand und während der Fahrt nicht lauter sein als dein Original-Auspuff. Die dB-Werte des Originals findest du im Fahrzeugschein.

Folgende Motorräder befinden sich in deinem preislichen Rahmen, müssten aber gedrosselt werden:

Honda CB 500

Honda CBF 500

Honda CB 750 Sevenfifty

Yamaha XJ 600 N

Yamaha FZS 600 Fazer

Suzuki GSF 600 Bandit

Suzuki GSF 650 Bandit

Suzuki SV 650

Suzuki GSR 600

Ducati Monster 600

Folgende Motorräder befinden sich ebenfalls in deinem preislichen Rahmen, müssten aber nicht gedrosselt werden:

Suzuki GS 500 E

MZ Skorpion Tour

Tu dir und deiner Maschine einen Gefallen und versuch nicht, dir das selbst  ohne Anleitung beizubringen. Wenn du das Fahren auf einem Rad unbedingt lernen willst, besuch doch mal die Wheelie-Schule.

https://www.dirkmanderbach.com/html/home-stunt-your-life.php

Der Hurric Pro 2 ist dank der vergebenen E-Nummer normalerweise ohne weitere Eintragung straßenzugelassen. Aber Vorsicht: Mit dem neuen Auspuff darf deine Kawasaki nicht lauter als mit dem Originalauspuff sein (Lautstärke in dB mit Originalauspuff ist im Fahrzeugschein vermerkt). Laut Recherche liegt der Hurric Pro 2 bezüglich des Standgeräusches bei ca. 80 dB (vermutlich im grünen Bereich), während der Fahrt jedoch bei ca. 100 dB (dürfte zu laut sein). Und erneut Vorsicht: Die Polizei darf bei Verdacht Geräuschmessungen an deinem Motorrad durchführen.

Vielleicht würde eine hitzebeständige Dichtpaste/Dichtmasse Abhilfe schaffen.

Eine KTM EXC 125 ist eine reine Crossmaschine, eine Straßenzulassung wirst du vermutlich noch nicht einmal nach massig Umbauten bekommen.

Kauf dir nach bestandener Führerscheinprüfung lieber eine MZ SX 125 oder eine Yamaha WR125R, beide sind sowohl für Feldwege als auch für die Straße geeignet. Falls du unbedingt eine Enduro der Marke KTM dein Eigen nennen musst, warte bis du 18 bist und mach den A2 Führerschein (wenn man bereits den A1 hat, muss man nur eine praktische Prüfung für A2 ablegen) und kauf dir beispielsweise eine hübsche KTM LC4 620.  

Wie es aussieht, hast du dich selbst noch nicht so recht mit der Thematik auseinandergesetzt. Supermotos und Enduros sind alle relativ hoch, da sollte es von deiner Größe her eigentlich keine großen Probleme geben. Deiner Meinung nach ansprechende Motorräder musst du dir schon selbst raussuchen, das Angebot ist bei den 125ern in Bezug auf Enduros und Supermotos relativ groß. Als Denkanstöße geb ich dir mal: MZ 125 SM/SX, Kreidler DICE GS 125, Yamaha DT 125, Beta RR 125, Generic Trigger 125 oder auch Honda XR 125. 

So richtig wird zwar nicht klar, was du mit dieser Frage bezweckst, aber ich versuch es halt mal.

Die WR125X ist eine reines Straßenmotorrad, eine Supermoto. Für holprige und enge Wald- und Wiesenwege ist die eher nicht empfehlenswert, ist halt wie gesagt was für die Straße. Bei der WR125R sieht es schon wieder anders aus. Die eignet sich sowohl für die Straße als auch fürs Gelände. Mit Gelände sind aber eher Wald- und Wiesewege gemeint. Wenn du an etwas wie Dirt Track oder Offroad-Park denkst, bist du auch mit ner WR125R nicht sonderlich gut bedient, da solltest du eher in Richtung Vollcross ohne Straßenzulassung gehen. Kommt halt ganz darauf an, was du mit der Maschine vorhast. Von der Größe her dürftest du übrigens auf beide Yamahas problemlos passen.   

Drosseln auf 80 km/h kannst du die 125er auf jeden Fall, denkbar wären eine Auspuffdrossel, ein modifiziertes Ritzel oder eine Drossel per Gasanschlag. Da die Drosselung auf 80 km/h für Besitzer des A1-Führerscheins unter 18 Jahren erst 2012 aufgehoben wurde, müsstest du auch noch einige Drosslungs-Kits finden. Alternativ kannst du dir auch eine 125er kaufen, die schon bauartbedingt nicht schneller als 80-90 km/h fährt. Von der PS-Zahl her bewegen die sich so zwischen 7 und 9 PS, je nach Gewicht.

http://cycle-ergo.com/